Esercizi

Esercizio 1

Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O traccia le due tangenti PQ e PR (essendo Q e R i punti di contatto). Dimostra che PO è perpendicolare a QR.

Soluzione:

I triangoli OQP e QKP sono simili perché
l’angolo KQP (corda-tangente) è congruente a metà dell’angolo al centro ROP cioè KOQ;
L’angolo OPQ è in comune
il terzo angolo è uguale per differenza, quindi:
QKP = OQP = 90°

Esercizio 2

Traccia la retta tangente a una circonferenza in un suo punto A. Considera due punti P e Q su tale tangente, simmetrici rispetto ad A. Dimostra che P e Q sono equidistanti dal centro della circonferenza.

Soluzione

I triangoli rettangoli PAO e QAO sono congr. perchè:
PA = QA (per costruzione)
AO è in comune
gli angoli compresi sono retti.
Quindi
PO = OQ
CVD

Esercizio 3

Traccia la tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto P. considera su tale tangente un punto Q e indica con R il punto in cui il segmento OQ incontra la circonferenza e con H la proiezione di P su OQ. dimostra che la semiretta PR è la bisettrice dell’angolo QPH.

1°) Osserva che POQ(angolo) = HPQ perchè complementari di OPH ; infatti:

HPQ +HPO =90°
HOP+HPO=90° —-> HPQ= HOP

2°) RPQ = 1/2(POQ)
Infatti RPQ è angolo alla circonferenza che insiste sull’arco PR;
POQ è angolo al centro che insiste sullo stesso arco PR

Ne segue (per noto teorema) che RPQ= 1/2(POQ)

3°)
HPR= HPQ – RPQ = POQ – 1/2(POQ) = 1/2(POQ)

Dalla 2° e dalla 3° per transitività segue che :

RPQ=HPR per cui essendo tali angoli congruenti, PR è la bisettrice di HPQ.

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